Das Problem mit dem Versicherungsbeginn liegt nicht bei der Taunus, sondern hängt mit der Anmeldung durch das Arbeitsamt zusammen:
Um Mitglied einer Krankenkasse zu werden, muß man zum einen einen entsprechenden Antrag stellen (natürlich auch mit einem "Beginn-Datum").
Als zweiten - entscheidenden - Schritt macht der Arbeitgeber (in diesem Fall das Arbeitsamt) eine Anmeldung bei der Krankenkasse.
Das Datum dieser Anmeldung ist maßgebend.
Es kann hier öfters zu Unterschieden kommen, z.B. wenn ein Arbeitnehmer Stundenlohn erhält, der 01. eines Monats auf ein Wochenende fällt und man erst am 02. oder 03. zu arbeiten beginnt - oder eben bei Beginn einer Arbeitslosigkeit.

Bestand vor der eigenen Versicherung eine Familienversicherung, meldet übrigens die neue Kasse den (exakten) Beginn der Mitgliedschaft an die alte Kasse, so können die Daten abgeglichen werden.
Kündigen muss man eine Familienversicherung nicht.

Wärst du vor der Taunus-Mitgliedschaft selbst versichert gewesen, hättest zum 31.03. gekündigt, hätte die Mitgliedschaft bei der Taunus auch zum 02.04. begonnen. Am 01.04. hättest du einen sog. "nachgehenden Leistungsanspruch" gehabt, d.h. deine bereits gekündigte Kasse wäre im Fall der Fälle eingesprungen.