Die Tarife heißen Kostenerstattungstarife bzw. Restkostenverfahren im GKV-Kostenerstattungsverfahren.
Suchen Sie hier im Forum 3 über google, ich habe dazu schon viel geschrieben. Übrigens bietet auch die TK einen derartigen Wahltarif "Praxis Privat" an, der 10% SB , gedeckelt auf max 400 pro Jahr, für einen Beitrag von ab 30 Euro im Monat an. Der leistet aber nur für Kassenleistungen, dann aber den Privatsatz, und beschleunigt damit damit die Terminvergabe und umgeht die Budgetierung. Bei den Medikamenten bleibt es aber beim Kassenrezept.
Die komplette Privatalternative zahlt dann auch die Medikamente.

Versicherer mit guten Tarifen, die das ganze auch auf Ihre Homepage offen bewerben und damit nennenswert Kunden und Erfahrungen haben, sind die ARAG und die DKV.
Die Abwicklung klappt meist sehr gut, wenn die GKV einen Cent vorleistet, dann wird da immer auf 100% aufgezahlt. Damit liegt der Schwarze Peter bei der GKV - Sie brauchen also eine servicestarke Kasse und keine Internetklitsche, wo Sie keinen festen Ansprechpartner haben, der die Problematik nicht kapiert.

Zum Thema Rechtsschutz: Sollte man immer haben, wenn man kein Chipkartenpatient ist. Allein die Erwähnung einer Rechtsschutzversicherung wirkt bei allen Beteiligten (Ärzte/GKV/PKV) im Streitfall immer Wunder!