Die Continentale hat eine ambulante Kostenerstattungstarif namens SGIK. Damit können Sie aber nur zu Ärzten mit Kassenzulassung gehen, außer Sie zahlen 30% selbst. Ärzte ohne Kassenzulassung werden nur zugelassen von der GKV, wenn soziale Gründe vorliegen. Vielleicht finden Sie ja eine Kasse, die das regelmäßig mitmacht.
Zum Kostenerstattungsverfahren habe ich mir schon die Finger wund geschrieben, bitte dieses Forum durchgooglen.

Zur Doppelversicherung: §200 VVG enthält ein Bereicherungsverbot. Dies zu kontrollieren, kann sehr mühselig sein: D.h. die GKV muss jede Rechnung abstempeln, dass Sie nichts gegeben hat. Auch wird die Continentale bei einem stationären Aufenthalt sicherlich nur nachrangig leisten wollen, d.h. die Regelleistung muss dann wohl die GKV zahlen.
Allgemein stellt sich aber bei Ihrem Tarif (ist ein Kompakttarif und kein Bausteintarif) und der hohen SB die Frage, ob man nicht in Absprache mit der Continentalen die GKV im Kostenerstattungsverfahren nutzt, um die SB abzufedern. Hier müssen Sie wirklich mit den Versicherungen verhandeln.

Ich würde persönlich eine Umstellung auf Anwartschaft in Kombi mit einer Zusatzversicherung vorziehen, da dies die sauberste Lösung ist. Bei einer Umstellung der Versicherung könnte allerdings eine erneute Risikoprüfung fällig sein, da die SB ja dann faktisch aufgehoben wird.