Eigentlich ist das ganze so unmöglich, wie Sie sich das vorstellen. Da wird jede GKV - zumindestens während der Vätermonate - nein sagen. Denn sollten Sie unter der JAE liegen, wäre die GKV umsonst während der Vätermonate - da Verlangen Sie von der GKV zuviel, nachdem Sie diese verlassen haben.
Die GKV ist absichtlich zugenagelt für alle, die vorm Kinderkriegen sich gegen die Solidargemeinschaft entschieden haben und dann wieder zurückwollen. Das ist gesetzlich kalkuliert Rache.

Wollen Sie zurück, dann muss Ihr Monatsgehalt runter und nicht Ihr Jahresgehalt. Vielleicht reden Sie mal mit dem Arbeitgeber, ob er sich auf eine Lohnkürzung z.B. gegen einen (größeren) Dienstwagen einlässt. Oder Sie erhalten 12 Monate 20% weniger und dann halt 12 Monate 20% mehr Gehalt.

Ich kann Ihren Wunsch v.a. hinter dem finanziellen Hintergrund der Beiträge für Kinder verstehen. Doch man kann leider nicht als Kinderloser PKV und nachher dann als Familienvater GKV wählen, wie man einen Porsche in einen Touran umtauschen kann. Bedenken Sie, dass die Leistungen der PKV - wie Sie gesagt haben - wirklich besser sind und dass der Gesambetrag PKV versus GKV+PKV-Zusatz (und ich meine eine richtige Zusatz für ca. 100 Euro im Monat für Erwachsene, die Sie zum Privatpatienten macht, um nicht Äpfel mit Birnen zu vergleichen) sich oft erst ab drei Kinder lohnt, also billiger ist als die Voll-PKV.
Und das Argument mit den Rechnungen und dem Einreichen kann ich nicht gelten lassen - denn als höherer Angestellter drüften Sie mit so etwas nicht überfordert sein - außer Ihre PKV zahlt erst nach Monaten